Durée : 2 heures. Barème sur 20. Dérivation, étude des fonctions.
Exercice 1 (14 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\) sur \(D = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).
- Déterminer les réels \(a\), \(b\) tels que \(f(x) = x + a + \frac{b}{x - 1}\).
- Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
- Montrer que la droite \((\Delta) : y = x\) est asymptote oblique à la courbe en \(\pm\infty\) et étudier leur position relative.
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
Correction
- \(x + a + \frac{b}{x - 1} = \frac{x^2 + (a - 1)x - a + b}{x - 1}\) : \(a - 1 = -1\) et \(-a + b = 1\), donc \(a = 0\), \(b = 1\) : \(f(x) = x + \frac{1}{x - 1}\).
- \(\lim_{\pm\infty}f = \pm\infty\) ; \(\lim_{x\to1^+}f = +\infty\) et \(\lim_{x\to1^-}f = -\infty\).
- \(f(x) - x = \frac{1}{x - 1}\to0\) : asymptote \(y = x\). La courbe est au-dessus pour \(x > 1\), en dessous pour \(x < 1\).
- \(f'(x) = 1 - \frac{1}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\). \(f\) croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;1[\) et \(]1\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\). \(f(0) = -1\) (maximum local), \(f(2) = 3\) (minimum local).
Exercice 2 (6 pts)
Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(\sqrt{1 + x}\le1 + \frac x2\).
Correction
Soit \(g(x) = 1 + \frac x2 - \sqrt{1 + x}\) sur \([0\,;+\infty[\). \(g'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt{1 + x}}\ge0\), donc \(g\) est croissante et \(g(x)\ge g(0) = 0\).