Durée : 2 heures. Barème sur 20. Arithmétique dans ℤ, rotation.
Exercice 1 (12 pts)
- Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^{2025}\) par \(7\) (on pourra calculer \(2^3\) modulo \(7\)).
- Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n^3 - n\) est divisible par \(6\).
- Montrer que, pour tout entier impair \(x\), \(x^2\equiv1\ [8]\).
Correction
- \(2^3 = 8\equiv1\ [7]\) ; \(2025 = 3\times675\), donc \(2^{2025} = (2^3)^{675}\equiv1\ [7]\) : le reste est \(1\).
- \(n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)\) : produit de trois entiers consécutifs, divisible par \(2\) et par \(3\), donc par \(6\).
- \(x = 2k + 1\) : \(x^2 - 1 = 4k(k + 1)\) et \(k(k + 1)\) est pair, donc \(8\mid x^2 - 1\). Tout entier impair vérifie \(x^2\equiv1\ [8]\).
Exercice 2 (8 pts)
\(ABC\) est un triangle direct. On construit à l'extérieur les triangles équilatéraux directs \(ABP\) et \(ACQ\) (de sorte que \(B = r(P)\) et \(Q = r(C)\), où \(r\) est la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac\pi3\)). Montrer que \(PC = BQ\) et donner une mesure de l'angle \((\overrightarrow{PC}, \overrightarrow{BQ})\).
Correction
\(r(P) = B\) et \(r(C) = Q\) : \(r\) transforme \([PC]\) en \([BQ]\). Elle conserve les distances : \(PC = BQ\), et \((\overrightarrow{PC}, \overrightarrow{BQ})\equiv\frac\pi3\ [2\pi]\).