Durée : 2 heures. Barème sur 20. Géométrie de l'espace, dénombrement.
Exercice 1 (10 pts)
Dans un repère orthonormé de l'espace, \(A(1\,;2\,;0)\), \(B(2\,;0\,;1)\), \(C(0\,;1\,;3)\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). Que dire du triangle \(ABC\) ?
- Calculer l'aire du triangle \(ABC\).
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(1\,;-2\,;1)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;-1\,;3)\) : \(-1 + 2 + 3 = 4\neq0\). Le triangle n'est pas rectangle en \(A\).
- \(AB = \sqrt6\), \(AC = \sqrt{11}\), \(\cos\widehat{A} = \frac{4}{\sqrt{66}}\), \(\sin\widehat A = \sqrt{1 - \frac{16}{66}} = \sqrt{\frac{50}{66}}\). Aire \(= \frac12AB\times AC\times\sin\widehat A = \frac12\sqrt{66}\sqrt{\frac{50}{66}} = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5\sqrt2}{2}\).
Exercice 2 (10 pts)
Une urne contient \(5\) boules rouges, \(4\) blanches et \(3\) vertes. On tire simultanément \(3\) boules.
- Combien de tirages sont possibles ?
- Combien de tirages donnent \(3\) boules de même couleur ?
- Combien de tirages donnent \(3\) boules de couleurs différentes ?
- Combien de tirages contiennent au moins une boule verte ?
Correction
- \(C_{12}^3 = 220\).
- \(C_5^3 + C_4^3 + C_3^3 = 10 + 4 + 1 = 15\).
- \(5\times4\times3 = 60\).
- \(220 - C_9^3 = 220 - 84 = 136\).