Durée : 2 heures. Barème sur 20. Généralités sur les fonctions, barycentre, produit scalaire.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\).
- Montrer que \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\) et que \(f(x) > 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
- Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \([0\,;+\infty[\).
- \(f\) est-elle majorée sur \([0\,;+\infty[\) ? Justifier.
Correction
- On multiplie par la quantité conjuguée : \(\frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\). Comme \(\sqrt{x^2 + 1} > |x|\ge-x\), le dénominateur est positif : \(f(x) > 0\).
- Sur \([0\,;+\infty[\), \(\sqrt{x^2 + 1} + x\) est strictement croissante et positive, donc son inverse est strictement décroissant.
- Oui : \(f\) décroissante sur \([0\,;+\infty[\) donne \(f(x)\le f(0) = 1\).
Exercice 2 (12 pts)
\(ABC\) est un triangle avec \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(\widehat{BAC} = \frac\pi3\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) puis \(BC\).
- Soit \(G\) le barycentre de \((A\,;1)\) et \((B\,;3)\). Calculer \(AG\).
- Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\).
Correction
- \(4\times6\times\cos\frac\pi3 = 12\). \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 16 + 36 - 24 = 28\), \(BC = 2\sqrt7\).
- \(\overrightarrow{AG} = \frac34\overrightarrow{AB}\), donc \(AG = 3\).
- C'est le cercle de diamètre \([AB]\).