Durée : 2 heures. Barème sur 20. Logique, ensembles et applications.
Exercice 1 (8 pts)
- Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(7^n - 1\) est divisible par \(6\).
- Montrer par l'absurde que \(\sqrt3\notin\mathbb{Q}\).
- Montrer que pour tous réels \(x, y\) : \(x^2 + y^2\ge2xy\).
Correction
- \(n = 0\) : \(0\) divisible par \(6\). Si \(7^n - 1 = 6k\), alors \(7^{n + 1} - 1 = 7(6k + 1) - 1 = 42k + 6 = 6(7k + 1)\).
- Si \(\sqrt3 = \frac pq\) (fraction irréductible), \(p^2 = 3q^2\), donc \(3\mid p^2\) et \(3\mid p\) ; \(p = 3k\) donne \(q^2 = 3k^2\), donc \(3\mid q\) : contradiction.
- \(x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2\ge0\).
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(f : \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\}\) définie par \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}\).
- Montrer que \(f\) est bien définie (c'est-à-dire que \(f(x)\neq2\)).
- Montrer que \(f\) est injective.
- Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
- Soit \(g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x) = x^2\). \(g\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Correction
- \(f(x) = 2 \Leftrightarrow 2x + 1 = 2x - 2\), impossible : \(f(x)\neq2\).
- \(f(a) = f(b) \Rightarrow (2a + 1)(b - 1) = (2b + 1)(a - 1) \Rightarrow -2a + b = -2b + a \Rightarrow 3b = 3a\), donc \(a = b\).
- Pour \(y\neq2\) : \(y = \frac{2x + 1}{x - 1} \Leftrightarrow yx - y = 2x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{y + 1}{y - 2}\), qui est bien différent de \(1\). Unique antécédent : \(f\) bijective et \(f^{-1}(y) = \frac{y + 1}{y - 2}\).
- Non injective : \(g(-1) = g(1)\). Non surjective : \(-1\) n'a pas d'antécédent.