Durée : 2 heures. Barème sur 20. Produit scalaire, calcul trigonométrique.
Exercice 1 (10 pts)
Dans un repère orthonormé, \(A(1\,;-1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(-3\,;2)\).
- Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). Que peut-on dire du triangle \(ABC\) ?
- Donner une équation de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\).
- Déterminer une équation du cercle de diamètre \([BC]\). Le point \(A\) appartient-il à ce cercle ?
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(3\,;4)\), \(\overrightarrow{AC}(-4\,;3)\) : \(-12 + 12 = 0\). Le triangle est rectangle en \(A\) (et isocèle car \(AB = AC = 5\)).
- \(\overrightarrow{BC}(-7\,;-1)\) normal à \((\Delta)\) : \(-7x - y + c = 0\) avec \(-7 + 1 + c = 0\), \(c = 6\) : \(7x + y - 6 = 0\).
- \((x - 4)(x + 3) + (y - 3)(y - 2) = 0\), soit \(x^2 + y^2 - x - 5y - 6 = 0\). \(A\) vérifie \(1 + 1 - 1 + 5 - 6 = 0\) : oui (ce qui confirme l'angle droit en \(A\)).
Exercice 2 (10 pts)
- Montrer que \(\cos^4x - \sin^4x = \cos2x\).
- Résoudre dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(2\cos x - 1 = 0\).
- Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) : \(\sin2x = \sin x\).
Correction
- \(\cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) = \cos2x\).
- \(\cos x = \frac12\) : \(x = \frac\pi3\) ou \(x = -\frac\pi3\).
- \(2\sin x\cos x - \sin x = \sin x(2\cos x - 1) = 0\) : \(\sin x = 0\) (\(x = 0\) ou \(\pi\)) ou \(\cos x = \frac12\) (\(x = \frac\pi3\) ou \(\frac{5\pi}{3}\)). \(S = \left\{0\,;\frac\pi3\,;\pi\,;\frac{5\pi}{3}\right\}\).