Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 — 1ère Bac Sciences Expérimentales (2 h) — 1ère année Bac Sciences Expérimentales

Durée : 2 heures. Barème sur 20. Barycentre, suites numériques.

\(ABC\) est un triangle. \(G\) est le barycentre de \((A\,;2)\), \((B\,;1)\), \((C\,;1)\) et \(I\) le milieu de \([BC]\).

Montrer que \(G\) est le milieu de \([AI]\).
Déterminer l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\|\).

Correction

\(I\) est le barycentre de \((B\,;1)\), \((C\,;1)\) ; par associativité, \(G\) est le barycentre de \((A\,;2)\) et \((I\,;2)\) : c'est le milieu de \([AI]\).
\(2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CB}\). La condition devient \(4MG = BC\), soit \(MG = \frac{BC}{4}\) : c'est le cercle de centre \(G\) et de rayon \(\frac{BC}{4}\).

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n + 1} = \frac12u_n + 3\). On pose \(v_n = u_n - 6\).

Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
Calculer \(S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n\).

Correction

\(u_1 = 4\), \(u_2 = 5\).
\(v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac12u_n - 3 = \frac12(u_n - 6) = \frac12v_n\) : géométrique de raison \(\frac12\), \(v_0 = -4\).
\(v_n = -4\left(\frac12\right)^n\) et \(u_n = 6 - 4\left(\frac12\right)^n\).
\(S_n = -4\times\frac{1 - \left(\frac12\right)^{n + 1}}{1 - \frac12} = -8\left(1 - \left(\frac12\right)^{n + 1}\right)\).