Devoir surveillé n°1 — Semestre 1 — 1ère Bac Sciences Expérimentales (2 h) — 1ère année Bac Sciences Expérimentales

Durée : 2 heures. Barème sur 20. Logique, généralités sur les fonctions.

Écrire la négation de : « \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exists n\in\mathbb{N},\ n > x\) ».
Montrer par contraposée que, pour \(x\in\mathbb{R}\) : si \(x^2 - 3x + 2\neq0\), alors \(x\neq1\).
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(3^n\ge1 + 2n\).

Correction

\(\exists x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N},\ n\le x\).
Contraposée : si \(x = 1\), alors \(x^2 - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\). Vraie, donc la proposition est vraie.
\(n = 0\) : \(1\ge1\). Si \(3^n\ge1 + 2n\), alors \(3^{n + 1} = 3\times3^n\ge3 + 6n\ge1 + 2(n + 1) = 3 + 2n\) (car \(6n\ge2n\)). La propriété est héréditaire.

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\) et \(g(x) = x^2 - 2x\).

Déterminer \(D_f\).
Montrer que \(f(x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}\) pour \(x\neq1\).
Montrer que \(f(x)\ge6\) pour tout \(x > 1\) (on pourra étudier le signe de \(f(x) - 6\)).
Étudier la parité de \(h(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\).
Dresser le tableau de variations de \(g\) et déterminer \(g([1\,;3])\).

Correction

\(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).
\(x + 1 + \frac{4}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1) + 4}{x - 1} = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\).
\(f(x) - 6 = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 1} = \frac{(x - 3)^2}{x - 1}\ge0\) pour \(x > 1\) : \(f(x)\ge6\) (minimum \(6\) atteint en \(3\)).
\(D_h = \mathbb{R}\) symétrique et \(h(-x) = \frac{-x}{x^2 + 1} = -h(x)\) : \(h\) est impaire.
\(g(x) = (x - 1)^2 - 1\) : décroissante sur \(]-\infty\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\). \(g(1) = -1\) et \(g(3) = 3\) : \(g([1\,;3]) = [-1\,;3]\).