Durée : 2 heures. Barème sur 20. Rotation, limites.
Exercice 1 (8 pts)
\(ABCD\) est un carré direct de centre \(O\) et \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac\pi2\). On note \(E = r(C)\).
- Déterminer \(r(B)\).
- Montrer que \(AC = AE\) et que le triangle \(ACE\) est rectangle isocèle.
- On note \(a\) le côté du carré. Calculer \(AC\) puis \(CE\) en fonction de \(a\).
Correction
- \(AB = AD\) et \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\equiv\frac\pi2\) : \(r(B) = D\).
- Par définition de la rotation, \(AE = AC\) et \((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})\equiv\frac\pi2\) : \(ACE\) est rectangle isocèle en \(A\).
- \(AC = a\sqrt2\) et \(CE = AC\sqrt2 = 2a\).
Exercice 2 (12 pts)
Calculer les limites :
- \(\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 5}\)
- \(\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)
- \(\lim_{x\to-\infty}(x^3 - 2x^2 + 1)\)
- \(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)
- \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x + 1} - \sqrt x\right)\)
Correction
- \(3\) (rapport des termes de plus haut degré).
- \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\to4\).
- \(-\infty\).
- \(\frac{\sin3x}{x} = 3\times\frac{\sin3x}{3x}\to3\).
- \(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x}\to0\).