Durée : 2 heures. Barème sur 20. Dérivation, étude des fonctions.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer la dérivée de : \(f_1(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7\) ; \(f_2(x) = (2x - 1)\sqrt x\) ; \(f_3(x) = \frac{x + 1}{x - 2}\).
Correction
\(f_1'(x) = 12x^3 - 10x\). \(f_2'(x) = 2\sqrt x + \frac{2x - 1}{2\sqrt x} = \frac{6x - 1}{2\sqrt x}\) (\(x > 0\)). \(f_3'(x) = \frac{(x - 2) - (x + 1)}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}\).
Exercice 2 (14 pts)
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
- Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\).
- Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution dans \(]0\,;1[\).
Correction
- \(\lim_{+\infty}f = +\infty\) et \(\lim_{-\infty}f = -\infty\).
- \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)\). \(f\) croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\) ; \(f(-1) = 3\) (maximum local), \(f(1) = -1\) (minimum local).
- \(f(0) = 1\), \(f'(0) = -3\) : \(y = -3x + 1\).
- \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([0\,;1]\), avec \(f(0) = 1 > 0\) et \(f(1) = -1 < 0\) : l'équation \(f(x) = 0\) a une unique solution dans \(]0\,;1[\).