Durée : 2 heures. Barème sur 20. Vecteurs de l'espace et géométrie analytique de l'espace, révision.
Exercice 1 (12 pts)
Dans un repère orthonormé de l'espace, \(A(1\,;0\,;2)\), \(B(3\,;1\,;0)\), \(C(0\,;2\,;1)\).
- Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
- Calculer \(AB\) et \(AC\).
- Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
- Le point \(D(5\,;2\,;-2)\) appartient-il à \((AB)\) ?
Correction
- \(\overrightarrow{AB}(2\,;1\,;-2)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;2\,;-1)\) : non proportionnels, donc non alignés.
- \(AB = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\) ; \(AC = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt6\).
- \(\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 2 - 2t \end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).
- \(t = 2\) donne \((5\,;2\,;-2)\) : oui, \(D\in(AB)\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}\).
- Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_f\) et en déduire les asymptotes.
- Montrer que \(f\) est strictement croissante sur chacun des intervalles de \(D_f\).
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\). \(\lim_{\pm\infty}f = 2\) : asymptote horizontale \(y = 2\). En \(-1\) : \(2x - 1\to-3\) ; \(\lim_{x\to-1^+}f = -\infty\) et \(\lim_{x\to-1^-}f = +\infty\) : asymptote verticale \(x = -1\).
- \(f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0\).