Devoir surveillé n°2 — Semestre 2 — 1ère Bac Sciences Économiques (2 h) — 1ère année Bac Sciences Économiques

Durée : 2 heures. Barème sur 20. Étude des fonctions.

Soit \(f(x) = \frac{x^2}{x - 1}\) définie sur \(D = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), et à droite et à gauche de \(1\).
Vérifier que \(f(x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1}\) et en déduire une asymptote oblique.
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(3\).

Correction

\(\lim_{+\infty}f = +\infty\), \(\lim_{-\infty}f = -\infty\) ; \(\lim_{1^+}f = +\infty\), \(\lim_{1^-}f = -\infty\).
\(x + 1 + \frac{1}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{x^2}{x - 1}\). Comme \(\frac{1}{x - 1}\to0\), la droite \(y = x + 1\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\).
\(f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}\).
Croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;1[\) et sur \(]1\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\) ; \(f(0) = 0\), \(f(2) = 4\).
\(f(3) = \frac92\), \(f'(3) = \frac34\) : \(y = \frac34(x - 3) + \frac92 = \frac34x + \frac94\).