Durée : 2 heures. Barème sur 20. Limites, dérivation.
Exercice 1 (10 pts)
Calculer les limites :
- \(\lim_{x\to+\infty}(2x^3 - 5x + 1)\)
- \(\lim_{x\to-\infty}\frac{4x - 1}{2x + 3}\)
- \(\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
- \(\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x - 2}\)
Correction
- \(+\infty\). 2. \(2\). 3. \(x + 3\to6\). 4. \(+\infty\).
Exercice 2 (10 pts)
Le coût total de production de \(q\) tonnes est \(C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 10\) (en milliers de DH).
- Calculer le coût marginal \(C'(q)\).
- Calculer \(C'(2)\) et l'interpréter.
- Montrer que \(C\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Correction
- \(C'(q) = 3q^2 - 12q + 15\).
- \(C'(2) = 12 - 24 + 15 = 3\) : produire une tonne supplémentaire à partir de \(2\) tonnes coûte environ \(3\,000\) DH.
- \(C'(q) = 3(q^2 - 4q + 5) = 3\left[(q - 2)^2 + 1\right] > 0\) : \(C\) est strictement croissante.