Durée : 2 heures. Barème sur 20. Généralités sur les fonctions, suites numériques.
Exercice 1 (8 pts)
Soit \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).
- Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.
- Dresser le tableau de variations de \(f\) et donner son maximum.
- Interpréter : si \(f(x)\) est le bénéfice (en milliers de DH) pour \(x\) centaines d'articles, combien faut-il en produire pour un bénéfice maximal ?
Correction
- \(f(x) = -(x - 3)^2 + 4\).
- Croissante sur \(]-\infty\,;3]\), décroissante sur \([3\,;+\infty[\) ; maximum \(4\) en \(x = 3\).
- \(300\) articles, pour un bénéfice de \(4\,000\) DH.
Exercice 2 (12 pts)
Un salarié commence avec un salaire mensuel de \(5\,000\) DH.
- Proposition A : augmentation de \(200\) DH chaque année. Exprimer le salaire \(a_n\) de l'année \(n\) (\(a_0 = 5000\)). Quelle est la nature de \((a_n)\) ?
- Proposition B : augmentation de \(3\,\%\) chaque année. Exprimer \(b_n\). Quelle est la nature de \((b_n)\) ?
- Calculer \(a_{10}\) et \(b_{10}\) (arrondi au DH). Quelle proposition est la plus avantageuse au bout de \(10\) ans ?
Correction
- \(a_n = 5000 + 200n\) : suite arithmétique de raison \(200\).
- \(b_n = 5000\times1{,}03^n\) : suite géométrique de raison \(1{,}03\).
- \(a_{10} = 7000\) DH ; \(b_{10}\approx6720\) DH. La proposition A est plus avantageuse à ce moment.