Durée : 2 heures. Barème sur 20. Logique, équations, inéquations et systèmes.
Exercice 1 (6 pts)
- Donner la valeur de vérité et la négation de : « \(\exists x\in\mathbb{R},\ x^2 - 4 = 0\) ».
- Écrire la contraposée de : « si \(x > 2\), alors \(x^2 > 4\) ».
Correction
- Vraie (\(x = 2\)). Négation : \(\forall x\in\mathbb{R},\ x^2 - 4\neq0\).
- « Si \(x^2\le4\), alors \(x\le2\). »
Exercice 2 (8 pts)
- Résoudre : \(x^2 - 7x + 10 = 0\) et \(x^2 - 7x + 10 > 0\).
- Résoudre \(\frac{2x - 6}{x + 1}\le0\).
Correction
- Racines \(2\) et \(5\). \(S = ]-\infty\,;2[\cup]5\,;+\infty[\).
- Tableau de signes : \(S = ]-1\,;3]\).
Exercice 3 (6 pts)
Une entreprise fabrique deux produits A et B. Le produit A demande \(2\) h de travail et B \(3\) h ; le coût de A est \(50\) DH et celui de B \(80\) DH. On a utilisé \(120\) h et dépensé \(3\,100\) DH. Combien de produits de chaque type a-t-on fabriqués ?
Correction
\(\begin{cases} 2a + 3b = 120 \\ 50a + 80b = 3100 \end{cases}\) : de la première, \(a = 60 - 1{,}5b\) ; donc \(3000 - 75b + 80b = 3100\), \(b = 20\) et \(a = 30\).